安徽农业大学线性代数试卷

第一部分：选择题

本部分共10道题目，每题4分，总分40分。以下是三道题目的示例：

题目一

设向量组$\\{\\boldsymbol{a}_1,\\boldsymbol{a}_2,\\boldsymbol{a}_3\\}$线性无关，则向量$\\boldsymbol{b}=k_1\\boldsymbol{a_1}+k_2\\boldsymbol{a_2}+k_3\\boldsymbol{a_3}$不能表示为向量组$\\{\\boldsymbol{a}_1,\\boldsymbol{a}_2\\}$的线性组合的充分必要条件是 （ ）。

A. $k_3 \ eq 0$ B. $k_3 = 0$ C. $k_1=k_2=k_3$ D. $k_1 = k_2$

题目二

设$n$阶方阵$A$满足$A^{*}A=E$，其中$E$为$n$阶单位矩阵，$\\det(A+2E)=3$，则$n=$（ ）。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

题目三

设线性变换$F$将$x$轴变为$y$轴，$y$轴变为$x$轴，平面上任意一点$(x,y)$在变换后的像为$(x+y, x-y)$，则矩阵表示为（ ）。

A. $\\begin{pmatrix}0&1\\\\-1&0\\end{pmatrix}$ B. $\\begin{pmatrix}1&0\\\\0&-1\\end{pmatrix}$ C. $\\begin{pmatrix}1&1\\\\1&-1\\end{pmatrix}$ D. $\\begin{pmatrix}-1&0\\\\0&1\\end{pmatrix}$

第二部分：计算题

本部分共4道题目，每题10分，总分40分。以下是一道题目的示例：

题目四

已知$\\begin{pmatrix}2\\\\1\\\\3\\end{pmatrix}$，$\\begin{pmatrix}1\\\\-1\\\\2\\end{pmatrix}$，$\\begin{pmatrix}3\\\\k\\\\1\\end{pmatrix}$均为齐次线性方程组$Ax=0$的解（其中$k$为实数），求向量$\\begin{pmatrix}-1\\\\2\\\\\\alpha\\end{pmatrix}$同时属于向量组$\\{\\begin{pmatrix}2\\\\1\\\\3\\end{pmatrix},\\begin{pmatrix}1\\\\-1\\\\2\\end{pmatrix},\\begin{pmatrix}3\\\\k\\\\1\\end{pmatrix}\\}$和向量组$\\{\\begin{pmatrix}1\\\\1\\\\1\\end{pmatrix},\\begin{pmatrix}-1\\\\-1\\\\0\\end{pmatrix},\\begin{pmatrix}2\\\\1\\\\2\\end{pmatrix}\\}$的$\\alpha$值。

第三部分：证明题

本部分共2道题目，每题20分，总分40分。以下是一道题目的示例：

题目五

设$n$阶方阵$A$的特征值为$\\lambda_1,\\lambda_2,\\cdots,\\lambda_n$，矩阵的迹为$tr(A)$，证明

$$\\sum_{i=1}^{n} \\lambda_i = tr(A)$$